ندانستنیها
دو به اضافه دو می شود چهار خیلی ها این را بدون استدلال می پذیرند اما ریاضیدان ها خیلی از این گونه بدیهیات را ثابت می کنند زبان ریاضیات به آنها اجازه می دهد که راههای منظمی برای شرح دادن آن چه در دنیای اطرافمان اتفاق می افتد بسازند گریگوری چایتین محقق ریاضیدان در دانشگاه IBM نشان داده است که ریاضیدان ها خیلی هم نمی توانند همه چیز را اثبات کنند او می گوید ریاضیدن فقط یک فرآیند کشف مانند سایر شاخه های دانش است ریاضیات یک دانش تجربی است. ریاضیدان در برابر حقایق اشتباه میکند همانگونه که یک جانور شناس ممکن است در ضمن یک کشف منجر شود
همواره تصور می شد که ریاضیات خالی از عدم قطعیت است و میتواند یک پایه خالص و قطعی برای سایر علوم(علوم نامنظم تر) باشد اما ریاضیات هم از نامنظم بودن مبرا نیست چایتین می گوید که ریاضیدان بر روی شهود کار می کند و آزمایش ایده ها .همانطور که بقیه این کار را می کنند جانور شناس می داند که ممکن است چیز جدیدی در ماداگاسکار برای کشف باشد و ریاضیدان هم می داند که شاخه های ناشناخته ای وجود دارند روش هیچ کدام از دیگری عمیق تر نیست
دلیلی که چایتین برای حرف عصبانی کننده اش دارد این است که او کشف کرده است هسته ی ریاضیات پر از حفره است چایتین نشان داده است که تعداد نا محدودی از حقایق ریاضی به دیگر حقایق ربطی ندارد و نمی توان آن ها را از دیگری استنتاج کرد! اگر ریاضیدان ها رابطه ای بین آن ها می یابند این تنها به شانس برمی گردد! مقدار قابل توجهی از ریاضیات بدون دلیل خاصی درست است چایتین می گوید "ریاضیات بر حسب تصادف درست است!!"
این می تواند خبر بدی برای فیزیکدان هایی باشد که به دنبال یک توضیح کامل و واحد از جهان اند ریاضیات زبان فیزیک است و کشف چایتین می گوید نمی توان هرگز یک توضیح قانع کننده در مورد جهان داد(نظریه همه چیزTOE) حتی استیون واینبرگ در این مورد می گوید"ما هر گز نمی توانیم مطمئن باشیم نظریه نهایییمان از لحاظ ریاضی سازگار است".
نفرین چایتین یک قضیه انتزاعی یا یک معادله غیر قابل رسوخ نیست بلکه یک عدد است این عدد که چایتین اسمش را امگا omega گذاشته است یک عدد حقیقی است همانطور که پی اول است اما امگا بی نهایت طولانی و مطلقا غیر قابل محاسبه است چایتین کشف کرد که این عدد کل ریاضیات را خراب می کند محدودیت های اساسی بر سر آن چه می توانیم بدانیم قرار می دهد و البته امگا فقط اول کار است عدد های مخرب خیلی بیشتری وجود دارند( چایتین اسم آن ها را سوپرامگاsuper omega گذاشته است)که حسابیدن را به چالش می کشد حتی اگر ما بتوانیم از پس امگا بر بیاییم. بد قلقی امگا در مورد اعداد محاسبه ناپذیر نشان می دهد ریاضیات آن طور که فکر می کردیم نیست و اغلب پر است از این چنین حفره هایی. بی نظمی بی قانونی و هرج و مرج در بطن جهان ما است.
چایتین امگا و خواصش را زمانی کشف کرد که در گیرتحقیق در مورد دو کشف تاثیر گذار قرن بود.در سال 1931 کورت گودل یک حفره در دل ریاضیات یافت قضیه ناتمامیتش نشان داد که قضایایی در ریاضیات وجود دارند که شما هرگز نمی توانید آن ها را ثابت کنید 5 سال بعد آلن تورینگ روی قضیه گودل کار کرد یک کامپیوتر فرضی را در نظر بگیرید که هر عملیات ماشینی را تقلید کند تورینگ نشان داد همواره چیز هایی وجود دارند که نمی توان آن ها را محاسبه نمود. هیچ دستور العملی وجود ندارد که شما به کامپیوتر بدهید و برای شما مشخص کند که یک برنامه ورودی آیا متوقف می شود یا خیر(halting problem) برای اینکه بدانید یک برنامه عاقبت بعد از یک ساعت یک روز یک هفته یا یک تریلیون سال متوقف می شود یا خیر این است که آن را اجرا کنید و منتظر بمانید!
دهه ها بعد در 1960 چایتین در مورد کار تورینگ تحقیق کرد او همه ی برنامه های ممکن که کامپیوتر فرضی تورینگ(ماشین تورینگ) می توانست به عنوان ورودی بپذیرد را در نظر گرفت و سپس به دنبال احتمال اینکه اگر یک برنامه به طور تصادفی از مجموعه همه ی برنامه های ممکن به ماشین تورینگ داده شود متوقف می شود گشت.او 20 سال در این مورد تحقیق کرد و سر انجام به این نتیجه رسید این "احتمال توقف"به سوال تورینگ در این مورد بر می گردد که آیا برنامه به یک عدد حقیقی بین 0 و1 (عدد احتمال) متوقف می شود یا خیر. چایتین اسم این عدد را امگا نامید و نشان داد همانطور که هیچ دستور العمل محاسبه پذیری برای این وجود ندارد که یک برنامه کی متوقف می شود هیچ دستور العملی هم برای محاسبه امگا وجود ندارد امگا غیر قابل محاسبه است
بعضی اعداد همچون پی می توانند توسط برنامه های نسبتا کوتاهی تولید شوند یعنی همه ی ارقام آن را یکی یکیمحاسبه کرد. انچه شما نیاز دارید زمان و حافظه کافی است اما چنین برنامه ای برای محاسبه امگا وجود ندارد در حالت دودوئی این عدد از دنباله ای کاملا تصادفی از0 ها و 1 ها تشکیل شده است چایتین می گوید "عدد من هیچ الگو یا ساختاری ندارد" "این عدد دنباله ای از 0 ها و 1 ها است که هر رقمش هیچ ربطی به ارقام قبلی ندارد دقیقا مانند یک تاس که هر برایندش مستقل از سایر بر ایند هاست"
همان فرآیندی که تورینگ را به این نتیجه رساند که مساله توقف تصمیم ناپذیر است چایتین را به کشف این عدد ندانستنی رهنمون شد چایتین می گوید " این مثال بارزی است از چیزی که در ریاضیات غیر قابل دانستن است"
یک عدد غیر قابل دانستن مساله ای نیست اگر هرگز ظاهر نشود اما کشفیات شگفت انگیز بعدی چایتین نشان داد که این عدد می تواند اثرات جدی در دنیای واقعی داشته باشد به این منظور او ریاضیات را به دنبال یافتن اثرات این عدد جسجو کرد تا کنون او فقط به تحقیق در یک مورد پرداخته است:نظریه اعداد.
نظریه اعداد یک پایه محض برای ریاضیات است نظریه اعداد طرز برخورد با اعمالی چون شمردن جمع و ضرب را شرح می دهد چایتین نظریه اعداد را برای یافتن امگا جستجو کرد و نخست با معادلات دیوفانتی کار کرد که فقط شامل جمع ضرب و توان است چایتین یک معادله دیوفانتی به طول 200 صفحه و بیش از 17000 متغیر ساخت ریاضیدانان به دنبال جواب چنین معادلاتی اند این معادله ممکن بود 10 یا 20 یا بی شمار جواب داشته باشد اما چایتین فقط به دنبال این بود که ببیند آیا تعداد نامحدودی جواب دارد یا نه.
جیمز جونس از دانشگاه کلگری و یوری ماتیجاسویک از موسسه استکلو نشان دادند که چگونه می توان عملیات ماشین تورینگ را به یک معادله دیوفانتی ترجمه کرد انها در یافتند که یک رابطه بین جواب های معادله و مساله توقف در ماشین تورینگ وجود دارد به این معنا که اگر برنامه متوقف نشود معادله متناظرش جواب ندارد در واقع معادله یک پل ارتباطی بین مساله ماشین تورینگ و اعمال پایه ای ریاضی می سازد
چایتین معادله اش را طوری ساده کرد که فقط شامل یک متغیر N شود که کلید یافتن امگا در آن بود انگاه او به جای N اعدادی را جایگزین کرد که پس از تحلیل می بایست ارقام امگا را به ترتیب بدهد وقتی او به جای N یک قرار داد جواب می بایست نخستین رقم امگا را بدهد اما داشتن بی نهایت جواب رقم اول امگا را 0 میکرد و داشتن تعداد محدودی جواب رقم اول آن را 1 می کرد اگر عدد 2 را به جای N جایگزین کنیم دومین رقم را داریم که باز هم به همان سرنوشت رقم اول دچار میشود در نظریه می توان تا ابد به این روند ادامه داد به این ترتیب چایتین به این نتیجه رسید که هر رقم از امگا کاملا تصادفی و مستقل است و چون دانستن این که معادله به تعداد محدود یا غیر قابل محدود جواب دارد منجر به محاسبه این عدد می شود لذا هر جواب معادله هم ندانستنی و مستقل از جواب های دیگر است بدین معنا که ندانستنی بودن ارقام امگا محدودیت هایی بر آنچه در نظریه اعداد می توان دانست نیز تحمیل کرد چایتین می پرسد "و حال اگر تصادفی بودن در چیزی پایه ای مانند نظریه اعداد وجود دارد کجا های دیگر هم ممکن است خود را نشان دهد؟" و می گوید" احساس من این است که آن(تصادفی بودن) همه جا هست"و "تصادفی بودن پایه ی درست ریاضیات است".
جان کستی "این حقیقت که تصادفی بودن همه جا هست نتایج بسیار عمیقی به دنبال دارد "(ریاضیدان موسسه سانتافه در نیومکزیکوSanta Fe Institute in New Mexico) این بدان معناست که در قسمت های کوچکی از ریاضی ممکن است نظم و ارتباط باشد اما در بیشتر موارد این ارتباط ها(ارتباط منطقی) وجود ندارد و اگر نتوانید ارتباط ها را برقرارکنید نمی توانید چیز ها را ثابت و حل کنید انچه یک ریاضیدان می تواند انجام دهد یافتن (یا بهتر است بگوییم تلاش برای یافتن-م)آن مقدار کوچک از ریاضیات است که بینشان ارتباط وجود دارد کستی می گوید" کار چایتین نشان داد مسائل حل پذیر مانند یک جزیره کوچک در اقیانوس بی انتهای گزاره های تصمیم ناپذیر هستند "
خیلی از چیز ها مانند حدس ریمان یا مساله اعداد کامل را شاید باید فقط پذیرفت آن ها درستند فقط چون درست جواب میدهند و نه این که اثبات شده درستند و دانشمندان باید آن ها فقط بپذیرند(البته تلاش برای حل این مسائل که شاید حل ناپذیر باشند در ذات خود به هیچ وجه بیهوده نیست و همواره به پیشرفت های جانبی منجر می شود- م).
در حالی که هنوز ریاضیدان ها از این صاعقه که بر سرشان وارد شده است کاملا آسوده نشده اند چایتین وقوع یک طوفان جدید را سبب شد:"سوپر امگا ها".
مانند امگا سوپر امگا ها هم به تورینگ بر می گردند چایتین یک کامپیوتر خدا گونه(God like computer) را که بسیار قدرتمندتر از کامپیوتر های معمولی و به طور کلی هر کامپیوتری است را در نظر گرفت که می تواند ندانستنی ها(برای کامپیوتر های معمولی که در واقع ماشین های حالت محدود final state machine اند -م)را بداند در حالی که یک کامپیوتر معمولی یک برنامه را اجرا می کند یا برای همیشه متوقف نمی شود. کامپیوتر فرضی ما بی نهایت حالت دارد و لذا همواره جواب میدهد(متوقف می شود) او اسم این ماشین تخیلی را سروش(oracle)یا الهام الهی نامید! و در حالی که کامپیوتر معمولی امگا دارد و محدودیت محاسباتی .چایتین نشان داد که oracle هم امگای خودش را دارد Omega' و مسائل ندانستنی خودش را.
Oracle می تواند امگا را محاسبه کند اما Omega' را نه. اما می توان کامپیوتر قوی تری را تصور کرد که Omega' را محاسبه نماید اما چایتین نشان داد که این کامپیوتر هم محدودیت محاسباتی و یک Omega''دارد و به این ترتیب نمی توان هرگز کامپیوتری ساخت که همه چیز را محاسبه کند(بداند) طبق این نتیجه گیری دنباله ای از اعداد امگا وجود دارد که دارای یک ترتیب صعودی در میزان تصادفی بودن اعدادشان دارند 
چایتین این اعداد را دهه ها پیش خود نگه داشت چون فکر می کرد بسیار تخیلی و دور از واقعیت اند او تصور می کرد آن ها اعدادی تخیلی مربوط به ماشین هایی تخیلی اند اما Veronica Becherاز دانشگاه Buenos Aires نشان داد که چایتین در مورد تخیلی بودن این اعداد در اشتباه بوده است سوپر امگاها واقعی و مهم اند انها برای کامپیوتر های واقعی معنای واقعی دارند چایتین از این امر بسیار متعجب شد کامپیوتر های معمولی بی نهایت محاسبه را نمی توانند انجام دهند آنها تعداد محدودی عملیات انجام می دهند و سپس متوقف می شوند ولی آنها می توانند تعداد نامحدودی عملیات انجام دهند یعنی بی نهایت نوع مختلف خروجی تولید کنند مانند مرورگر هایی همچون Netscape یا سیستم عامل هایی مانند .Windows 2000
این اولین راه برای becher بود احتمال این که در طول یک دوره از بی نهایت محاسبه یک ماشین فقط تعداد معدودی خروجی تولید می کند برای دست یافتن به نتیجه او یک کامپیوتر محدود که تقریبی از oracle بود را فرض کرد و این ماشین زمانی جواب میدهد که پس از مدت زمان t متوقف شود یک کامپیوتر معمولی می تواند چنین کاری کند آنگاه t را به سمت بی نهایت میل بدهید این به کامپیوتر اجازه می دهد مدت زمان بیشتری برای توقف داشته باشد.و بدین ترتیب oracle را شبیه سازی کردند و در یافتند این ماشین هم محدودیت محاسباتی دارد حال سوپر امگا ها هم به داخل واقعیت آمدند و چایتین اعتقاد دارد که ان ها هم در تمام ریاضیات ظاهر می شوند "سوپر امگا ها چه کاری میتوانند بکنند" چایتین می پرسد او می گوید"ما هنوز اول راهیم".
منبع:New Scientist